Le premier signe de l'égalité des triangles. Les deuxième et troisième signes de l'égalité des triangles

Parmi le très grand nombre de polygones,qui est en fait une ligne brisée non-sécante fermée, un triangle est un chiffre avec le plus petit nombre d'angles. En d'autres termes, c'est le polygone le plus simple. Mais, malgré toute sa simplicité, cette figure contient beaucoup de mystères et de découvertes intéressantes, qui sont couvertes par une section spéciale de mathématiques - géométrie. Cette discipline dans les écoles commence à enseigner à partir de la septième année, et le sujet "Triangle" reçoit une attention particulière ici. Les enfants non seulement apprennent les règles sur la figure elle-même, mais aussi les comparent en étudiant 1, 2 et 3 signes d'égalité des triangles.

Première connaissance

Une des premières règles à introduireécoliers, sonne à peu près ainsi: la somme des tailles de tous les angles d'un triangle est égale à 180 degrés. Pour confirmer cela, il suffit, à l'aide du rapporteur, de mesurer chacun des sommets et d'additionner toutes les valeurs résultantes. En partant de là, pour deux grandeurs connues, il est facile de déterminer le troisième. Par exemple: Dans le triangle, l'un des angles est 70 °, et l'autre - 85 °, quelle est la valeur du troisième angle?

180 - 85 - 70 = 25.

Réponse: 25 °.

Les problèmes peuvent être plus compliqués si une seule valeur de l'angle est spécifiée, et la deuxième valeur indique seulement combien de fois ou combien de fois elle est supérieure ou inférieure.

Dans le triangle, pour déterminer l'une de ses caractéristiques, des lignes spéciales peuvent être tracées, chacune ayant son propre nom:

• hauteur - une ligne perpendiculaire tirée du haut vers le côté opposé;
• les trois hauteurs maintenues simultanément au centre de la figure se croisent, formant un orthocentre qui, selon le type de triangle, peut être intérieur ou extérieur;
• médiane - la ligne reliant le sommet au milieu du côté opposé;
• L'intersection des médianes est le point de gravité, est à l'intérieur de la figure;
• la bissectrice est une ligne passant du sommet au point d'intersection avec le côté opposé, le point d'intersection des trois bissectrices étant le centre du cercle inscrit.

Vérités simples sur les triangles

Triangles, comme, en effet, toutes les figures, ont leurs propres caractéristiques et propriétés. Comme déjà mentionné, cette figure est le polygone le plus simple, mais avec ses propres caractéristiques:

• contre le côté le plus long, il y a toujours un angle avec une valeur plus grande, et vice versa;
• Les angles égaux se trouvent sur des côtés égaux, un triangle isocèle est un exemple;
• la somme des angles internes est toujours de 180 °, ce qui a déjà été démontré par l'exemple;
• lorsqu'un côté du triangle s'étend au delà de ses limites, il se forme un angle extérieur qui sera toujours égal à la somme des angles avec lesquels il n'est pas adjacent;
• l'une des parties est toujours inférieure à la somme des deux autres parties, mais plus que leur différence.

Types de triangles

L'étape suivante de connaissance consiste à déterminer le groupe auquel appartient le triangle représenté. L'appartenance à l'un ou l'autre type dépend des angles du triangle.

• Égal - avec deux côtés égaux,qui sont appelés latéraux, le troisième dans ce cas agit comme la base de la figure. Les angles à la base d'un tel triangle sont les mêmes, et la médiane tirée du haut est la bissectrice et la hauteur.
• Un triangle régulier ou équilatéral est un avec tous ses côtés égaux.
• Rectangulaire: l'un de ses angles est de 90 °. Dans ce cas, le côté opposé à ce coin est appelé l'hypoténuse, et les deux autres par les jambes.
• Triangle prononcé - tous les angles sont inférieurs à 90 °.
• Obtuse - l'un des angles supérieurs à 90 °.

L'égalité et la similitude des triangles

Dans le processus d'apprentissage, non seulementfigure séparément prise, mais aussi comparer deux triangles. Et ce sujet apparemment simple a beaucoup de règles et de théorèmes sur lesquels il peut être prouvé que les chiffres considérés sont des triangles égaux. Les signes d'égalité des triangles ont la définition suivante: les triangles sont égaux si leurs côtés et angles respectifs sont les mêmes. Avec cette égalité, si vous superposez ces deux figures l'une sur l'autre, toutes leurs lignes convergeront. En outre, les chiffres peuvent être similaires, en particulier, cela s'applique à des chiffres presque identiques, ne différant que par l'ampleur. Afin de faire une telle conclusion sur les triangles représentés, une des conditions suivantes doit être observée:

• deux coins d'une figure sont égaux à deux angles de l'autre;
• les deux côtés de l'un sont proportionnels aux deux côtés du second triangle, et les angles formés par les côtés sont égaux;
• les trois côtés du second chiffre sont les mêmes que le premier.

Bien sûr, pour une égalité indiscutable, ce qui n'est pasIl y aura le moindre doute, il faut avoir les mêmes valeurs pour tous les éléments des deux figures, mais en utilisant les théorèmes, le problème est beaucoup plus simple, et seules quelques conditions permettent de prouver l'égalité des triangles.

Le premier signe de l'égalité des triangles

Les objectifs sur ce sujet sont décidés sur la base dela preuve du théorème, qui se lit: "Si les deux côtés du triangle et l'angle qu'ils forment sont égaux à deux côtés et le coin de l'autre triangle, alors les chiffres sont également égaux."

Comment la preuve du théorème pour le premierun signe d'égalité des triangles? Tout le monde sait que deux segments sont égaux s'ils ont la même longueur, ou les cercles sont égaux s'ils ont le même rayon. Et dans le cas des triangles, il y a plusieurs caractéristiques, dont on peut supposer que les figures sont identiques, ce qui est très pratique pour résoudre divers problèmes géométriques.

Comment le théorème "Le premier signe de l'égalité des triangles" sonne, est décrit ci-dessus, mais sa preuve:

• Supposons que les triangles ABC et A₁Dans le₁C₁ avoir les mêmes côtés AB et A₁Dans le₁ et, en conséquence, BC et B₁C₁et les angles qui sont formés par ces côtés ont la même valeur, c'est-à-dire qu'ils sont égaux. Ensuite, en appliquant △ ABC à △ A₁Dans le₁C_1, nous obtenons la coïncidence de toutes les lignes et sommets. Il s'ensuit que ces triangles sont absolument identiques, et sont donc égaux entre eux.

Le théorème "Le premier signe de l'égalité des triangles" est aussi appelé "Sur les deux côtés et le coin". En fait, c'est son essence.

Théorème sur la deuxième caractéristique

Le deuxième signe d'égalité est prouvé de la même manière,la preuve est basée sur le fait que lorsque les figures se superposent, elles coïncident complètement sur tous les sommets et côtés. Et le théorème sonne comme ceci: "Si un côté et deux angles dans la formation dont il participe correspondent au côté et aux deux angles du deuxième triangle, alors ces chiffres sont identiques, c'est-à-dire égaux."

Le troisième signe et la preuve

Si les deux 2 et 1 sont égauxles triangles touchaient les deux côtés et les angles de la figure, alors que le troisième se référait uniquement aux côtés. Ainsi, le théorème a la formulation suivante: "Si tous les côtés d'un triangle sont égaux aux trois côtés du deuxième triangle, alors les chiffres sont identiques."

Pour prouver ce théorème, nous avons besoin de plus de détails.plonger dans la définition même de l'égalité. En substance, que signifie l'expression «triangles égaux»? Identity dit que si vous mettez une forme sur une autre, tous leurs éléments coïncident, cela ne peut être que dans le cas où leurs côtés et leurs angles sont égaux. Simultanément, l'angle opposé à l'un des côtés, qui est identique à celui de l'autre triangle, sera égal au sommet correspondant de la deuxième figure. Il convient de noter qu’à cet endroit, la preuve est facile à traduire en un signe d’égalité des triangles. Si une telle séquence n'est pas observée, l'égalité des triangles est tout simplement impossible, sauf dans les cas où la figure est une image miroir du premier.

Triangles droits

Dans la structure de tels triangles, il y a toujours des sommets avec un angle de 90 °. Par conséquent, les déclarations suivantes sont vraies:

• les triangles à angle droit sont égaux si les jambes de l’un sont identiques à celles du second;
• les figures sont égales si leur hypoténuse et l'une des jambes sont égales;
• ces triangles sont égaux si leurs jambes et leur angle aigu sont identiques.

Ce signe fait référence à un rectangletriangles. Pour la démonstration du théorème, on applique les figures les unes aux autres, ce qui permet aux triangles de replier les branches de manière à former un angle droit entre les deux droites avec les côtés de la SA et de la SA₁.

Application pratique

Dans la plupart des cas, en pratique,premier signe d'égalité des triangles. En fait, ce sujet apparemment simple de la classe 7 sur la géométrie et la planimétrie est également utilisé pour calculer la longueur, par exemple, d’un câble téléphonique sans mesurer la zone sur laquelle il passera. En utilisant ce théorème, il est facile de faire les calculs nécessaires pour déterminer la longueur d’une île située au milieu d’une rivière, sans la traverser. Soit renforcer la clôture, en plaçant la barre dans la travée de manière à la diviser en deux triangles égaux, soit calculer les éléments complexes du travail dans la menuiserie, soit calculer le système de fermes de toit pendant la construction.

Le premier signe d’égalité des triangles trouve une large application dans la vraie vie «adulte». Bien que pendant les années scolaires, ce sujet semble à beaucoup ennuyeux et totalement inutile.

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